Como você escreve 85 como a diferença entre dois quadrados?


resposta 1:

Vou resolver esse tipo de estilo de ciência, não de matemática.

Talvez a maneira mais simples de encontrar uma resposta rápida e barata seja notar um padrão em quadrados consecutivos:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

Isso é interessante. Quadrados consecutivos diferem por números ímpares consecutivos? Vamos tentar fazer um modelo:

Por que as diferenças entre quadrados consecutivos são iguais à sequência de números ímpares ?, no Math Stack Exchange.

Ok, eu estou olhando para as formas laranja "L". Esse pode ser um bom modelo. Vale a pena triturar álgebra para ajudar a descobrir. Vamos ver se conseguimos encontrar uma fórmula para a diferença de quadrados consecutivos:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

Sim. Portanto, podemos mostrar apenas da matemática que os quadrados consecutivos diferem por números ímpares consecutivos. Não precisávamos de dados e modelo. Hã.

Enfim, agora só precisamos resolver

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

então

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Deixe-me aparecer uma calculadora.

Ufa, sim, está certo. (Recebi n = 42 na primeira vez, mas a calculadora me salvou e editei minha resposta.)

Aposto que essa não é a única resposta. É apenas uma maneira simples de encontrar uma resposta.


resposta 2:

Suponha que você tenha números inteiros positivos A, B, de modo que

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

.

Factoring a diferença de quadrados:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Nós temos isso

A>BA>B

e nós temos isso

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

Onde

MN=85MN = 85

e

M>NM>N

. 85 só pode ser fatorado como 85 * 1 e 17 * 5.

2A=M+N2A = M+N

e

2B=MN2B = M-N

, assim

M+NM+N

e

MNM-N

precisa ser par, o que ocorre apenas quando M e N são pares ou ímpares.

Generalizando: Se "85" fosse algum outro número, para que a equação tivesse soluções com números inteiros, "85" precisaria ser ímpar (para que M e N sejam ímpares) ou "85" precisaria ser divisível por 4 (para que M e N possam ser escolhidos como pares). Se "85" fosse divisível por 4, então M e N precisariam ser ambos fatores "85".


resposta 3:

Provavelmente, existem algumas maneiras de resolver esses tipos de problemas, mas acho que o seguinte é o mais direto.

Assumimos que existe uma solução de número inteiro e vimos aonde isso nos leva.

Vamos assumir que os dois quadrados são a e b. Então podemos escrever: (nos seguintes 2 significa ao quadrado)

a2 - b2 = 85

Podemos fatorar o lado esquerdo como (ab) (a + b) para que

(ab) (a + b) = 85

Agora, procuramos fatores de 85. Como o número termina em 5, é divisível por 5. Isso dá 5 * 17. Esses dois números são primos, portanto não há outros fatores. Exceto por (1 * 85).

Então: (ab) (a + b) = 5 * 17

Portanto, podemos assumir: (ab) = 5 (a + b) = 17

Somando-os juntos para eliminar b, obtém-se: 2a = 22, dando a = 11

Então 11-b = 5 dá b = 6

Então a = 11 eb = 6

Para testar: 11 ao quadrado = 121, 6 ao quadrado = 36.121 - 36 = 85

Vamos tentar a segunda possibilidade (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (Ab) = 1, (a + b) = 85 Isso dá 2a = 86 para que a = 43 eb = 42

Portanto, existem exatamente duas soluções: (1) a = 11 eb = 6 (2) a = 43 eb = 42